Từ điều kiện suy ra $0\leq abcd\leq1$ và $0\leq(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\leq1$. Suy ra $P\leq \sqrt[4]{abcd}+\sqrt[4]{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}$
$\leq \frac{a+b+c+a}{4}+\frac{4-a-b-c-d}{4}$
$\leq 1$.
Từ đó có $P\leq1$; đồng thời khi lấy $(a;b;c;d)=(0;0;0;0)$ hoặc $(a;b;c;d)=(1;1;1;1)$ thì điều kiện đề bài được thỏa mãn và $P=1$.
Vậy $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $1$.