Cho $x,y,z$ là các số thực dương  thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
$P=(x+y+z)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\frac{1}{xy+yz+xz}\right)$
:(( vầy đánh lại đi –  rang 01-03-16 07:04 PM
đang đánh gần xong thì ấn nhầm nút tải lại trang :((((( –  tran85295 01-03-16 06:57 PM
x,y,z>0 ko vậy ??? –  111aze 29-02-16 12:49 PM

$$P=1+\left[\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+2(xy+yz+zx) \right]+\frac 12\left[\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}-\frac{1}{xy+yz+zx}\right]$$

Ý tưởng của em là dùng $ \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$ để triệt tiêu $\frac{1}{xy+yz+zx}$

Do đó em chứng minh $$\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz} \ge \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}(1)$$

Nhận thấy $VT(1)$ có mẫu là $xy+yz+zx$ có thể áp dụng thẳng $AM-GM$ ở ngoặc vuông đầu tiên nhưng dấu = ko xảy ra :3

Muốn có dấu = thì dưới mẩu phải có $(xy+yz+zx)^2$. Tức là đi c/m 1 bđt mạnh hơn :

$$\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz} \ge (\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx})^2 (2)$$

Từ $(2)$ dễ dàng $\Rightarrow (1)$

* C/m $(2)$:

Hiện tại là e chưa có cách nào làm nhanh :3 nên tạm dùng pp bđtđ "huyền thoại " :v

$(2)\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2(x^3+y^3+z^3) \ge (x^2+y^2+z^2)^2.3xyz$

Ta có $VT=\left[\sum x^2y^2+2xyz(x+y+z) \right](x^3+y^3+z^3)$

$= \sum x^5y^2+\sum x^2y^5+\sum x^2y^2z^3+2\sum x^2y^4z +2\sum x^2yz^4+2\sum x^5yz$

$VP=(\sum x^4+ 2\sum x^2y^2).3xyz=3\sum x^5yz +6 \sum x^3y^3z$

Nên $VT \ge VP \Leftrightarrow \sum x^5y^2+\sum x^2y^5+\sum x^2y^2z^3+2\sum x^2y^4z +2\sum x^2yz^4 \ge \sum x^5yz +6 \sum x^3y^3z $

Dùng $AM-GM$ dễ dàng chứng minh :
$ \frac 12( \sum x^5y^2+ \sum x^2y^5) \ge \sum x^5yz$

$ \frac 12(\sum x^5y^2+ \sum x^2y^5)+ \sum x^3y^2z^2 \ge  \sum x^2y^4z+ \sum x^2yz^4$

Nên ta chi cần chứng minh

 $3(\sum x^2y^4z+ \sum x^2yz) \ge 6\sum x^3y^3z\Leftrightarrow \sum xy^3+ \sum x^3y \ge 2\sum x^2y^2 $ (đúng theo $AM-GM)$

____________________________________________________________________________

Áp dụng $(1),(2)$, ta có :

$P \ge 1+\left[(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx)+\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{(xy+yz+zx)^2} \right] +\frac 12\left[ \frac{x^2+y^2+z^2-1}{xy+yz+zx}\right]$

$\ge 1+3=4\Rightarrow MinP=4$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z= \sqrt{\frac 13}$

h hiểu r chứ :3 –  ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 02-03-16 09:26 PM
chỗ đấy dùng C-S ntn nhỉ :3 –  tran85295 02-03-16 10:43 AM
k để ý C-S chỗ (2) r –  ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 01-03-16 11:18 PM
:D @@ hack nao –  ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 01-03-16 09:41 PM
max phức tạp :(( –  rang 01-03-16 09:11 PM
dùng bđtđ nên mới lằng nhằng thế –  tran85295 01-03-16 09:03 PM
thật chỗ bđt (2) khó :3 –  tran85295 01-03-16 09:03 PM
@@ hoa mắt luôn –  rang 01-03-16 09:01 PM
Dùng BĐT cổ điển thuần túy nhưng ta sẽ đi chứng minh BĐT mạnh hơn sau:

$$\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2}(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac})\geq 7$$


(Trần Quốc Anh)

$\Leftrightarrow \frac{8(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\geq 10$

Lại có:

$\frac{8(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}\geq 16-\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}$

Vậy nên ta chỉ cần chứng minh:

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}-6\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)[\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)-9abc}{abc(ab+bc+ac)}] \geq 0$$

Mà hiển nhiên thì $(a+b+c)(ab+bc+ac) \geq 9abc$



thâm sâu quá anh em hk hiểu –  ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 04-03-16 10:49 PM

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chat chit và chém gió
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: ..................... 11/5/2018 1:39:52 PM
  • vinhlyle: hi 11/10/2018 8:03:02 PM
  • ๖ۣۜBossღ: 3:00 AM 11/11/2018 10:17:11 PM
  • quanghungnguyen256: sao wweb cứ đăng nhập mãi nhĩ, k trả lời đc bài viết nữa 11/30/2018 4:35:45 PM
  • quanghungnguyen256: web nát r à 11/30/2018 4:36:19 PM
  • quanghungnguyen256: 11/11/2018 h là 30/11. oi web chắt k ai dùng r hả 11/30/2018 4:36:44 PM
  • quanghungnguyen256: rofum ngon thế mà sao admin lại k nâng cấp nhỡ 11/30/2018 4:37:07 PM
  • nguyenlena2611: talk_to_the_hand 12/24/2018 9:24:22 PM
  • nguyenlena2611: big_grinsurpriseblushing 12/24/2018 9:28:35 PM
  • Việt EL: ^^ 2/16/2019 8:37:21 PM
  • Việt EL: he lô he lô 2/16/2019 8:37:34 PM
  • Việt EL: y sờ e ny guan hiar? 2/16/2019 8:38:15 PM
  • Việt EL: èo 2/16/2019 8:38:32 PM
  • Việt EL: éo có ai 2/16/2019 8:40:48 PM
  • dfgsgsd: Hế lô 2/21/2019 9:52:51 PM
  • dfgsgsd: Lờ ôn lôn huyền ..... 2/21/2019 9:53:01 PM
  • dfgsgsd: Cờ ắc cắc nặng.... 2/21/2019 9:53:08 PM
  • dfgsgsd: Chờ im.... 2/21/2019 9:53:12 PM
  • dfgsgsd: Dờ ai dai sắc ...... 2/21/2019 9:53:23 PM
  • dfgsgsd: ờ ưng nưng sắc.... 2/21/2019 9:53:37 PM
  • dfgsgsd: Mờ inh minh huyền.... đờ ep nặng... trờ ai... quờ a sắc.... đờ i.... 2/21/2019 9:54:11 PM
  • nln: winking 2/28/2019 9:02:14 PM
  • nln: big_grin 2/28/2019 9:02:16 PM
  • nln: smug 2/28/2019 9:02:18 PM
  • nln: talk_to_the_hand 2/28/2019 9:02:20 PM
  • nln: Specialise 2/28/2019 9:51:54 PM
  • nlnl: But they have since become two much-love 2/28/2019 10:03:10 PM
  • dhfh: sad 3/2/2019 9:27:26 PM
  • ๖ۣۜNatsu: allo 3/3/2019 11:39:32 PM
  • ffhfdh: reyeye 3/5/2019 8:53:26 PM
  • ffhfdh: ủuutrr 3/5/2019 8:53:29 PM
  • dgdsgds: ujghjj 3/24/2019 9:12:47 PM
  • ryyty: ghfghgfhfhgfghgfhgffggfhhghfgh 4/9/2019 9:34:48 PM
  • gdfgfd: gfjfjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 4/14/2019 9:53:38 PM
  • gdfgfd: sadsadsadsadsadsad 4/14/2019 9:59:30 PM
  • fdfddgf: trâm anh 4/17/2019 9:40:50 PM
  • gfjggg: a lot of advice is available for college leavers 5/10/2019 9:32:12 PM
  • linhkim2401: big_hug 7/3/2019 9:35:43 AM
  • ddfhfhdff: could you help me do this job 7/23/2019 10:29:49 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to 7/23/2019 10:30:03 PM
  • ddfhfhdff: Why you are in my life, why 7/23/2019 10:30:21 PM
  • ddfhfhdff: Could you help me do this job? I don't know how to get it start 7/23/2019 10:31:45 PM
  • ddfhfhdff: big_grinwhistling 7/23/2019 10:32:50 PM
  • ddfhfhdff: coukd you help me do this job 7/23/2019 10:39:22 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to get it start 7/23/2019 10:39:38 PM
  • huy31012002:9/13/2019 10:43:52 PM
  • huongpha226: hello 11/29/2019 8:22:41 PM
  • hoangthiennhat29: pig 4/2/2020 9:48:11 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:18 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:19 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:20 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:22 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:23 PM
  • cutein111: hello 4/9/2020 9:23:30 PM
  • cutein111: mấy bạn 4/9/2020 9:23:33 PM
  • cutein111: mấy bạn cần người ... k 4/9/2020 9:23:49 PM
  • cutein111: mik sẽ là... của bạn 4/9/2020 9:23:58 PM
  • cutein111: hihi 4/9/2020 9:24:00 PM
  • cutein111: https://www.youtube.com/watch?v=EgBJmlPo8Xw 4/9/2020 9:24:12 PM
  • nhdanfr: Hello 9/17/2020 8:34:26 PM
  • minhthientran594: hi 11/1/2020 10:32:29 AM
  • giocon123fa: hi mọi ngừi :33 1/31/2021 10:31:56 PM
  • giocon123fa: call_me 1/31/2021 10:32:46 PM
  • giocon123fa: không còn ai nữa à? 1/31/2021 10:36:35 PM
  • giocon123fa: toi phải up cái này lên face để mọi người vào chơilaughing) 1/31/2021 10:42:37 PM
  • manhleduc712: hí ae 2/23/2021 8:51:42 AM
  • vaaa: f 3/27/2021 9:40:49 AM
  • vaaa: fuck 3/27/2021 9:40:57 AM
  • L.lawiet: l 6/4/2021 1:26:16 PM
  • tramvin1: . 6/14/2021 8:48:20 PM
  • dothitam04061986: solo ff ko 7/7/2021 2:47:36 PM
  • dothitam04061986: ai muốn xem ngực e ko ạ 7/7/2021 2:49:36 PM
  • dothitam04061986: e nứng 7/7/2021 2:49:52 PM
  • Phương ^.^: ngủ hết rồi ạ? 7/20/2021 10:16:31 PM
  • ducanh170208: hi 8/15/2021 10:23:19 AM
  • ducanh170208: xin chao mọi người 8/15/2021 10:23:39 AM
  • nguyenkieutrinh: hiu lo m.n 9/14/2021 7:30:55 PM
  • nguyenngocha651: Xin chào tất cả các bạn 9/20/2021 3:13:46 PM
  • nguyenngocha651: Có ai onl ko, Ib với mik 9/20/2021 3:14:08 PM
  • nguyenngocha651: Còn ai on ko ạ 9/20/2021 3:21:34 PM
  • nguyenngocha651: ai 12 tủi, sinh k9 Ib Iw mik nhố 9/21/2021 10:22:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • dvthuat
  • hoàng anh thọ
  • nhungtt0312
  • Xusint
  • tiendat.tran.79
  • babylove_yourfriend_1996
  • thaonguyenxanh1369
  • hoangthao0794
  • zzzz1410
  • watashitipho
  • HọcTạiNhà
  • Cá Hêu
  • peonycherry
  • phanqk1996
  • giothienxung
  • khoaita567
  • nguyentranthuylinhkt
  • maimatmet
  • minh.mai.td
  • quybalamcam
  • m_internet001
  • bangtuyettrangsocola
  • chizjzj
  • vuivequa052
  • haibanh237
  • sweetmilk1412
  • panhhuu
  • mekebinh
  • Nghịch Thuỷ Hàn
  • Lone star
  • LanguaeofLegend
  • huongduong2603
  • i_love_you_12387
  • a ku
  • heohong_congchua
  • impossitable111
  • khanh
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • huynhhoangphu.10k7
  • namduong2016
  • vycreepers
  • Bảo Phươngg
  • Yurika Yuki
  • tinysweets98
  • Thùy Trang
  • Hàn Thiên Dii
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • LeQuynh
  • thithuan27
  • huhunhh
  • ๖ۣۜDemonღ
  • nguyenxinh6295
  • phuc642003
  • diephuynh2009
  • Lê Giang
  • Han Yoon Min
  • ...
  • thuyvan
  • Mặt Trời Bé
  • DoTri69
  • bac1024578
  • Hạ Vân
  • thuong0122
  • nhakhoahoc43
  • tuanngo.apd
  • Đức Vỹ
  • ๖ۣۜCold
  • Lethu031193
  • salihova.eldara