với $x\in [0;3]$\{$\frac{3}{2};2$}
bpt $\Leftrightarrow \frac{2x-3}{(2x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3-x})}>\frac{1}{x^{2}-x-2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{3-x}<x^{2}-x-2$
đến đây có rất nhiều cách để biện luận. lớp 10 thì làm như sau:
điều kiện có nghiệm $x^{2}-x-2>0$ kết hợp với đkxđ ta được:
D= $(2;3]$
bpt $\Leftrightarrow 2\sqrt{x(3-x)}<x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x+1$
$\Leftrightarrow 2(\sqrt{-x^{2}+3x}-1)<x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x-1$
$\Leftrightarrow -2.\frac{x^{2}-3x+1}{1+\sqrt{-x^{2}+3x}}<(x^{2}+x-1)(x^{2}-3x+1)$(*)
ta có $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ không phải nghiệm của bpt.
nếu $x\in (2;\frac{3+\sqrt{5}}{2})\Rightarrow x^{2}-3x+1<0$
(*) $\Leftrightarrow \frac{-2}{1+\sqrt{-x^{2}+3x}}>x^{2}-x+1$ (vô lý vì VT<0, VP>0)
nếu $x\in (\frac{3+\sqrt{5}}{2};3]\Rightarrow x^{2}-3x+1>0$ nên bpt luôn đúng (vì VT<0<VP)
từ đó suy ra $x\in (\frac{3+\sqrt{5}}{2};3]$ là tập các nghiệm của bpt.