Bất đẳng thức trong hình học (Cái này cũ)

Question

Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh $\Delta $.CMR:

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc $.

score 6 · Answer 1

ta có

$\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{bc}=\frac{a^2-b^2-c^2+2bc}{bc}=2-2.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=2-2cosA$

làm tg tự ta có

$\frac{(a+b-c)(b+c-a)}{ac}=2-2cosB$

$\frac{(a+c-b)(b+c-a)}{ab}=2-2cosC$

nhân lại ta có $\frac{(a+b-c)^2(a+c-b)^2(b+c-a)^2}{a^2b^2c^2}=8(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)$

$\leq8(\frac{3-cosA-cosB-cosC}3)^3$(1)

mà $cosA+cosB+cosC=2cos(\frac{A+B}2)cos(\frac{A-B}2)- 2sin^2(\frac C2)+1$$\leq2sin(\frac C2)-2sin^2(\frac C2)+1\leq \frac32$(2)

từ 1 và 2 suy ra đpcm

cách này hay đấy – lovesomebody121 01-03-16 08:52 PM

cái này lớp 9 chưa hok – thánh FA 01-03-16 08:39 PM

vậy à. a nhỡ làm thế rồi – mquang12a1tqk 01-03-16 08:37 PM

e nó mới c2, chưa học đến mấy ct cộng, ct nhân lượng giác – rang 01-03-16 08:35 PM

định lí cosin mà chưa học sao – mquang12a1tqk 01-03-16 08:34 PM

ôi a ơi cái này e đã học đâu ??? – Thiên Bình 01-03-16 08:33 PM

thánh chơi lầy vầy.. chơi hẩn lượng giác – rang 01-03-16 08:32 PM

score 4 · Answer 2

cái này sử dụng bđt cauchy:

$(a+b-c)+(b+c-a)\geq 2\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)}\Rightarrow 2a\geq ........\Rightarrow a^2\geq (a+b-c)(b+c-a)$

tương tự rồi ghép là ok

ghép cái cuối $(abc)^2\geq$cái đầu bài mũ 2 xong rút gọn

sắp hiểu rồi đấy :)) – Thiên Bình 01-03-16 08:22 PM

2 Đáp án