Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy$ $Schwars$ cho các số dương (Dễ dàng chứng minh được bằng biến đổi tương đương)$\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n}\geq \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n}$
Dấu $=$ xảy ra khi $\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=...=\frac{x_n}{a_n}$.
Áp dụng: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\geq\frac{(1+1+...+1)^2}{a_1+a_2+...+a_n}$ (Có $n$ chữ số $1$)
$=\frac{n^2}{a_1+a_2+...+a_n}$.
Thay vào $VT$ ta được điều phải chứng minh.
Bài toán xong !!!