Ngon nè =))

Question

CM với mọi số thực dương

$a_{1},a_{2},...,a_{n}$ ta luôn có :

$(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+ \frac{1}{a_{n}}) \geq n^{2}$

score 7 · Answer 1

Áp dụng Bất đẳng thức

$Cauchy$

$Schwars$ cho các số dương (Dễ dàng chứng minh được bằng biến đổi tương đương)

$\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n}\geq \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n}$

Dấu

$=$ xảy ra khi

$\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=...=\frac{x_n}{a_n}$ .

Áp dụng:

$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\geq\frac{(1+1+...+1)^2}{a_1+a_2+...+a_n}$ (Có

$n$ chữ số

$1$ )

$=\frac{n^2}{a_1+a_2+...+a_n}$ .

Thay vào

$VT$ ta được điều phải chứng minh.

Bài toán xong !!!

lộn AM-GM :/ – ☼SunShine❤️ 09-03-16 07:29 PM

-_- thế nào ??? – 111aze 09-03-16 07:16 PM

Cách này cũng đk , cơ mà áp dụng Cauchy cho 2 bộ số nhanh hơn :D – ☼SunShine❤️ 09-03-16 07:14 PM

1 Đáp án