$P$chỉ có thể đạt giá trị lớn nhất chứ không đạt giá trị nhỏ nhất. Sau đây là lời giải.
Sử dụng điều kiện cùng một vài bất đẳng thức quen thuộc thì được$\frac{4(a+c)}{a^2+3c^2+28}=\frac{4(a+c)}{a^2+3c^2+2(a^2+b^2+c^2)}$
$=\frac{4(a+c)}{3a^2+2b^2+5c^2}$
$\leq \frac{4(a+c)}{3a^2+(b+c)^2+2bc}$
$\leq \frac{4(a+c)}{2a^2+2a(b+c)+2bc}$
$\leq \frac{2}{a+b}$
$\leq \frac{5}{(a+b)^2}+\frac{1}{5}$;
$\frac{4a}{a^2+bc+7}=\frac{8a}{2a^2+2bc+14}$
$= \frac{8a}{2a^2+2bc+a^2+b^2+c^2}$
$= \frac{8a}{3a^2+(b+c)^2}$
$\leq \frac{8a}{2a^2+2a(b+c)}$
$\leq \frac{4}{a+b+c}$
$\leq \frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}$
$\leq \frac{3}{a(b+c)}+\frac{1}{3}$.
Từ đó có $P\leq \frac{8}{15}$; đồng thời khi lấy $a=3,b=2,c=1$ thì điều kiện đề bài được thỏa mãn và $P=\frac{8}{15}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{8}{15}$.