$A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1001}{2xy}$Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:
$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq 4.$
$\frac{1001}{2xy}\geq \frac{1001}{\frac{2}{4}}=2002$. (Vì $xy\leq\frac{(x+y)^2}{4}\leq \frac{1}{4}$ )
Suy ra $A\geq 4+2002=2006.$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.$