Điều kiện xác định: $x \ge -7;y \ge 0.$
$\pi.$ $y=0$ không phải nghiệm của hệ..
$\pi.$ Xét $y>0$, ta có:
$(1)\Leftrightarrow (x-y+2)\underbrace{(x^2+y)}_{>0,\forall x \ge -7; y>0}=0$
$\Leftrightarrow y=x+2.$
Thay $y=x+2$ thay vào PT $(2)$ của hệ , ta được :
$(y-1)\sqrt{y}+(y+4)\sqrt{y+5}=y^{2}+3y+2$
$ \Leftrightarrow (y-1)(\sqrt{y}-2)+(y+4)(\sqrt{y+5}-3)=y^{2}-2y-8$
$ \Leftrightarrow \frac{(y-1)(y-4)}{\sqrt{y}+2}+ \frac{(y-4)(y+4) }{\sqrt{y+5}+3}=(y-4)(y+2)$
$ \Leftrightarrow (y-4)( \frac{y-1}{\sqrt{y}+2}+ \frac{y+4}{\sqrt{y+5}+3})=(y-4)(y+2)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=4 \Rightarrow x=2\\ \frac{y-1}{\sqrt{y}+2} + \frac{y+4}{\sqrt{y+5}+3}=y+2 (\bigstar) \end{array} \right.$
Xét phương trình $(\bigstar),$ ta có:
+ Với $0<y \le 1,$ ta có5
$\frac{y-1}{\sqrt{y}+2} + \frac{y+4}{\sqrt{y+5}+3} \le 0+\frac{y+4}{3}<y+2\Rightarrow (\bigstar)$ vô nghiệm..
+ Với $y>1,$ ta có:
$\frac{y-1}{\sqrt{y}+2} + \frac{y+4}{\sqrt{y+5}+3} \le \frac{y-1}{2}+\frac{y+4}{3}=\frac{5y+5}{6}<y+2\Rightarrow (\bigstar)$ vô nghiệm..
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $\color{green}{(x;y)=(2;4)}.$
Trò chơi kết thúc - Chúc em học tốt!