+) Xét $n\leq 4$ thì:$n=1\Rightarrow 1!=1^2$ $(t/m)$
$n=2\Rightarrow 1!+2!=3$ (loại)
$n=3\Rightarrow 1!+2!+3!=9=3^2$ $(t/m)$
$n=4\Rightarrow 1!+2!+3!+4!=33$ (loại)
+) Xét $n\geq 5:5!=120;6!=720;...$ (Tận cùng đều $=0$)
$\Rightarrow 1!+2!+3!+4!+...+n!=...3$ (Tận cùng là $3$ vì $1!+2!+3!+4!$ có tận cùng là $3$ và các số $5!;6!;...n!$ có tận cùng là $0$).Mà số chính phương không có tận cùng là $3$.
$\Rightarrow n\geq 5$ (loại).
Vậy $n=1;3$.