(Đề thi thử chuyên HN Amesterdam năm 2016) [đang ẩn]

Question

(Đề thi thử chuyên HN Amesterdam năm 2016)

Cho là các số thực không nhỏ hơn 1.Chứng minh rằng:
$\frac{a}{2a-1} + \frac{b}{2b-1} +\frac{c}{2c-1 } \geq \frac{18}{3+ab+bc+ac}$

score 5 · Answer 1

Từ điều kiện suy ra

$a,b,c\geq 1$ . Vì

$0<2a-1\leq a^2$ nên

$\frac{a}{2a-1}\geq \frac{1}{a}$ .

Chứng minh tương tự thì có

$\frac{b}{2b-1}\geq \frac{1}{b}$ và

$\frac{c}{2c-1}\geq \frac{1}{c}$ .

Từ đó có

$\frac{a}{2a-1}+\frac{b}{2b-1}+\frac{c}{2c-1}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$ (1)

Lại có

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}.$ (2)

Vì

$a,b,c\geq1$ nên

$\left ( a-1\right )\left ( b-1 \right )+\left ( b-1\right )\left ( c-1 \right )+\left ( c-1 \right )\left ( a-1 \right )\geq 0$ . Suy ra

$\frac{9}{a+b+c}\geq \frac{18}{3+ab+bc+ca}.$ (3)

Kết hợp (1), (2) và (3) thì được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi

$a=b=c=1$ .

$\triangle$

max siêu!! – Confusion 02-04-16 06:36 PM

Thánh BĐT đây rồi! – ★★.P.I.N.O.★★ 21-03-16 10:09 AM

bị xóa vì không liên quan đến nội dung của site bởi ๖ۣۜDevilღ 15-06-16 11:44 PM