Điều kiện của hệ là x,y≥−13 và xy≥0.Trường hợp
0≥x,y≥−13. Khi đó có
√3x+1+√3y+1≤2<4. Suy ra hệ vô nghiệm.
Trường hợp x,y≥0. Vì √xy≤x+y2 nên 2(x+y)−√xy≥3(x+y)2; suy ra 3≥3(x+y)2, hay x+y≤2 (1).
Vì √3x+1≤3x+54 và √3y+1≤3y+54 nên √3x+1+√3y+1≤3(x+y)+104; suy ra 4≤3(x+y)+104, hay x+y≥2 (2).
Từ (1) và (2) cho thấy x=y=1. Dễ dàng kiểm tra (x;y)=(1;1) thỏa mãn hệ.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất, đó là (x;y)=(1;1). △