Khát danh vọng

Question

Với $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}$

score 2 · Answer 1

Cách 2 :
Ta sd bổ đề : Nếu $a+b+c+abc=4 , và a,b,c>=0 thì a+b+c>= ab+bc+ca$
K mất tính tổng quát , giả sử : $c>=b>=a$ . Ta phải chứng minh :
$a+b-ab >=\frac{4-a-b}{ab+1}(a+b-c)<=> (a+b-c)^{2} >=ab(a-1)(b-1)$
Theo bđt AM-GM : $(a+b-2)^{2}>=4|(a-1)(b-1)|>=ab|(a-1)(b-1)|$
Từ bổ đề , suy ra :
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz :
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}>= \frac{(a+b+c)^{2}}{c\sqrt{a+b}+a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+A}}$
$c\sqrt{a+b}+a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}=< \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
=>
$VT >= (a+b+c)\sqrt{\frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)}}>= \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1

score 2 · Answer 2

Đặt : $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$
Bđt <=> $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{z^{2}+x^{2}}} \geq \frac{x+y+z}{\sqrt{2}}$
<=>$ \sum_{cyc}\frac{2x^{4}}{x^{2}+y^{2}}+\sum_{cyc} \frac{4x^{2}y^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})}}>= (x+y+z)^{2}$
Mà : $\sum\frac{2x^{4}}{x^{2}+y^{2}}=\Sigma \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}$
Mặt khác 2 bộ số :
$\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},....$
$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},...$
là 2 bộ số đơn điệu ngc chiều , theo bđt hoán vị :
$\sum_{cyc} \frac{4x^{2}y^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})}}>= \sum_{sym} \frac{4x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} $
=> Ta cần cm :
$\sum_{sym} \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}+\sum_{sym}\frac{4x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}>=(x+y+z)^{2}$
<=>$\sum_{sym}x^{2}+\sum_{sym} \frac{2x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}>=2(xy+yz+zx)$
<=> $\sum_{sym}(\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}-\sqrt{\frac{2x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}})^{2}>=0$ (đpcm )
Dấu = xảy ra <=> x=y=z<=>a=b=c