Vì bđt có dạng thuần nhất nên chuẩn hóa $a+b+c=1$$VT=\sum \frac{a^2}{5a^2+(1-a)^2}=\sum\frac{a^2}{6a^2-2a+1}$
$\boxed{*TH1 : \min\{a,b,c \}> \frac 18}$
Ta có $\frac{a^2}{6a^2-2a+1} \le \frac{12a-1}{27}\Leftrightarrow (3x-1)^2(8x-1) \ge 0$ (luôn đúng )
Thiết lập tương tự $\Rightarrow VT \le\frac{12(a+b+c)-3}{27}= \frac 13$
$ \boxed{*TH2 : \min \{a,b,c\} \le \frac 18}$
Giả sử $c= \min \{a,b,c\}\Rightarrow 0 \le c \le \frac 18$
Ta có $\frac{a^2}{6a^2-2a+1} \le \frac{4a+1}{18}\Leftrightarrow (2x-1)^2(6x+1)$ (luôn đúng )
Thiết lập tương tự $\Rightarrow \frac{b^2}{6b^2-2b+1} \le \frac{4b+1}{18}$
$\Rightarrow VT \le \frac{4(a+b)+2}{18}+\frac{c^2}{6c^2-2c+1}$
$= \frac{-2c+3}{9}+\frac{c^2}{6c^2-2c+1}$
$=\frac{-12c^3+31c^2-8c+3}{9(6c^2-2c+1)}$
Mà $\frac{-12c^3+31c^2-8c+3}{9(6c^2-2c+1)} \le \frac 13\Leftrightarrow c(12c^2-13c+2) \ge 0$ (đúng $\forall c \in [0;\frac 18])$
Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra khi $\boxed{a=b=c};\boxed{a=b,c=0}$ hoặc các hoán vị