Cách 1:Từ giả thiết suy ra: $abc(a+b+c)=ab+bc+ca$
Đặt: $ab=x;bc=y;ca=z.$
Bài toán trở thành:
Cho $\left\{ \begin{array}{l} x,y,z>0\\ x+y+z=xy+yz+zx \end{array} \right..$
CMR: $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq 27$
Theo bác Hoder, ta có:
$(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^3$
$\Rightarrow (x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\geq \frac{(x+y+z)^4}{x^2+y^2+z^2}$
Ta cần c/m:
$(x+y+z)^4\geq 27(x^2+y^2+z^2)$
Mặt khác, từ giả thiết: $x+y+z=xy+yz+zx,$
ta có: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy+yz+zx=(x+y+z)(x+y+z-2)$
Do đó ta cần c/m:
$(x+y+z)^4\geq 27(x+y+z)*x+y+z-2)$
$\Leftrightarrow (x+y+z)^3\geq 27(x+y+z)^3-54$
Hiển nhiên ta có bất đẳng thức trên là đúng do theo bác $AM-GM:$
$(x+y+z)^3+27+27\geq 27(x+y+z)$
$\Rightarrow $ đpcm!
Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=1./$
Note:
( like để siêu thoát cho con thỏ)