hình tam giác

Question

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của $\triangle$ABC . Gọi m,n,k là độ dài các đường phân giác trong của 3 góc của $\triangle$ABC . Cmr: $\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{k}$>$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$

๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin · Answer 1 · 4/12/2016 7:06:45 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Đặt AB=c, BC=a, CA=b, phân giác AD=m, phân giác BE=n, phân giác CF=k

Bây giờ bạn kẻ tam giác ABC với cả đường cao AD trước...cho dễ nhìn...mình chứng minh từng cái một!!!

Đầu tiên kẻ DE song song AB (E thuộc AC)

Khi đó góc EAD=EDA ( = góc BAD) nên AE=DE=x

Ta có: DE song song AB nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CA}\Leftrightarrow \frac{x}{c}=\frac{b-x}{b}\Leftrightarrow \frac{x}{c}+\frac{x}{b}=1\Leftrightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}$ (1)

Mà $AE+ED>AD\Leftrightarrow 2x>m\Leftrightarrow \frac{1}{2x}<\frac{1}{m}$ (2)

Từ (1) và (2) được: $\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}<1/m$

Làm tương tự với cac phân giác BE, CF rồi cộng cả 3 BPT lại với nhau thì sẽ ra KQ bạn ạ

Có gì thắc mắc bảo mình nha, đúng thì tích giùm mình, hihi!!!

Trả lời 12-04-16 07:06 PM

๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
6 1

18K 15K

kiểu này chắc dễ hiểu hơn nhỉ....kcj, hihi!!! – ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin 12-04-16 10:00 PM

cảm ơn nhiều – Ngọc 12-04-16 08:12 PM

score 14 · Answer 2

Bình chọn tăng 14 Bình chọn giảm

biết rằng $l_{a}=\frac{2bc}{b+c}.\cos \frac{A}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{b+c}{2bc}=\frac{\cos \frac{A}{2}}{l_{a}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{\cos \frac{A}{2}}{l_{a}}$ .tương tự rồi cộng lại ta được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\cos \frac{A}{2}}{l_{a}}+\frac{\cos \frac{B}{2}}{l_{b}}+\frac{\cos \frac{C}{2}}{l_{c}}<\frac{1}{l_{a}}+\frac{1}{l_{b}}+\frac{1}{l_{c}}$.....tức là ta có đpcm nhé.!?

(đúng thì tick hộ nha...!?)