Có $a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\leq \frac{\sqrt{2}}{a+b}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$CMTT với các số còn lại
$P\leq\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c})\leq \frac{\sqrt{2}}{4}.2=\frac{\sqrt{2}}{2}$