chứng tỏ (tiếp) ai giúp em với

Question

Chứng tỏ : $A=10^{n}+18n-1$ chia hết cho $27$ (với $n$ là số tự nhiên).

Lionel Messi · Answer 1 · 4/19/2016 7:25:57 PM

$10^n+18n-1$ chia hết cho 27 (*)
Với n=0 thì $10^n+18n-1=1+0-1=0$ chia hết cho 27
Giả sử mệnh đề (*) đúng với n=k(k thuộc N,k≥0)
Tức là $10^k+18k-1=27t$
Xét $10^(k+1)+18(k+1)-1 $
$=10^k+18k-1+9.10^k+18 $
$=27t+9(10^k-1)+27(1) $
Mặt khác $10^k-1$ chia hết cho $10-1=9$
$=>10^k-1$ chia hết cho 3
$=>9(10^k-1)$ chia hết cho 27(2)
từ (1),(2)=> mệnh đề (*) đúng với $n=k+1 $
Vậy $10^n+18n-1$ chia hết cho 27 với mọi n thuộc N

Trả lời 19-04-16 07:25 PM

Lionel Messi
41 3

169K 513K

Lionel Messi · Answer 2 · 4/19/2016 7:23:42 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Ta có: $10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n$ (số $99...9$ có $n$ chữ số $9) $
= $9(11...1 + 2n)$ (số $11...1$ có $n$ chữ số $1) = 9.A $
Xét biểu thức trong ngoặc $A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n$ (số $11...1$ có n chữ số $1). $
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho $3.$ Số $11...1 (n $ chữ số $1)$ có tổng các chữ số là $1 + 1 + ... + 1 = n $(vì có $n$ chữ số $1). $
$=> 11...1 (n$ chữ số 1) và $ n$ có cùng số dư trong phép chia cho $3 => 11...1 (n$ chữ số $1) - n$ chia hết cho $3 => A$ chia hết cho $3 => 9.A$ chia hết cho $27$ hay $10^n + 18n - 1$ chia hết cho $27$ (đpcm)

Trả lời 19-04-16 07:23 PM

Lionel Messi
41 3

169K 513K