Bđt cần cm tương đương $(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(2+\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}})\geq 9$$\leftrightarrow 2.(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+\frac{1}{ab^{2}}+\frac{1}{bc^{2}}+\frac{1}{ca^{2}}\geq 9$.
Mặt khác:$a^{2}b+a^{2}b+\frac{1}{ab^{2}}\geq 3.\sqrt[3]{a^{2}b.a^{2}b.\frac{1}{ab^{2}}}=3a$.
Tương tự cộng vế vs vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1$