Chuong và tho 6

Question

Cmr: Trong $7$ số nguyên bất kì, luôn tìm được $4$ số có tổng chia hết cho $4$.

tran85295 · Answer 1 · 5/15/2016 10:57:10 AM

Gọi số dư của 7 số đã cho khi chia cho 4 lần lượt là $x_1,x_2...x_7 (0 \le x_i \le3 ,i=1,2,..6,7) $

$-$Nếu trong 7 số dư đó có $ \ge $ 4 số bằng nhau $\Rightarrow$ dpcm

$-$Nếu có đúng 3 số bằng nhau, giả sử $x_1=x_2=x_3$:

Theo Dirichle thì trong 4 số còn lại nhận 3 giá trị nên có ít nhất 2 số bằng nhau

Giả sử $x_4=x_5(\ne x_1)$

$+$ Nếu $x_1,x_4$ cùng lẻ hoặc cùng chẵn $\Rightarrow$ dpcm vì $x_1+x_2+x_4+x_5 \vdots 4$

$+$ Nếu $x_1,x_4$ khác tính chẵn lẻ, giả sử $x_1$ lẻ $x_4 $ chẵn

*Nếu $x_6,x_7$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì $\Rightarrow$ dpcm vì $\left[ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_6+x_7 \vdots 4\\ x_4+x_5+x_6+x_7 \vdots 4 \end{array} \right.$

*Nếu $x_6,x_7$ khác tính chẵn lẻ, giả sử $x_6$ chẵn $x_7$ lẻ thì ta có dpcm vì $x_1+x_7 \vdots 4$ (do $x_1,x_7$ là 2 số lẻ và $x_1\ne x_7), x_4+x_5 \vdots 4\Rightarrow x_1+x_4+x_5+x_7 \vdots 4$

$-$Trong trường hợp còn lại, theo nguyên lý Dirichlet thì $7$ số nhận $4$ giá trị nên tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau, giả sử $x_1=x_2$

$+5$ số còn lại nhận 3 giá trị nên cũng có ít nhất 2 số bằng nhau, giả sừ $x_3=x_4$

*$3$ số còn lại nhận $2$ giá trị nên tương tự giả sử $x_5=x_6$

Nên 4 số $x_1,x_3,x_5,x_7$ nhận 4 giá trị khác nhau từ $0\rightarrow 3$

Không mất tính tổng quát giả sừ $x_1 \le x_3 \le x_5 \le x_7$

$\Rightarrow x_1=0,x_3=1,x_5=2,x_7=3$

Ta có ngay dpcm vì $x_1+x_2+x_3+x_7 \vdots 4$

tasfuskau · Answer 2 · 5/15/2016 10:40:32 AM

Gọi 7 số đã cho là m1, m2, m3, m4, m5, m6, m7.

Trong 7 số chắc chắn tồn tại 2 số có cùng tính chẵn lẻ, không mất tính tổng quát, có thể giả sử 2 số đó là m1, m2. Như vậy tổng (m1+m2) chẵn, nên chia cho 4 dư 0 hoặc dư 2.

Xét 5 số còn lại m3, m4, .., m7, trong 5 số này chắc chắn có 2 số có cùng tính chẵn lẻ, không mất tính tổng quát, giả sử 2 số đó là m3, m4. Như vậy tổng (m3+m4) chẵn, nên chia cho 4 dư 0 hoặc 2.

Xét 3 số còn lại là m5, m6, m7; trong 3 số này chắc chắn có 2 số có cùng tính chẵn lẻ, không mất tính tổng quát, giả sử 2 số đó là m5 và m6. Như vậy tổng (m5+m6) chia cho 4 dư 0 hoặc dư 2.

Xét 3 tổng (m1+m2); (m3+m4); (m5+m6); 3 tổng này chia cho 4 dư 0 hoặc 2, do đó theo định lí Đirichle, tồn tại 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 4; không mất tính tổng quát, giả sử 2 tổng đó là (m1+m2) và (m3+m4); mà (0+0) và (2+2) đều chia hết cho 4; suy ra tổng 4 số (m1+m2+m3+m4) chia hết cho 4.