$\frac{x^3}{y+z}+\frac{x(y+z)}{4}+\frac{x^2}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^6}{8}}=\frac{3}{2}x^2$Tương tự:
$\frac{y^3}{x+z}+\frac{y(x+z)}{4}+\frac{y^2}{2}\geq \frac{3}{2}y^2$
$\frac{z^3}{x+y}+\frac{z(x+y)}{4}+\frac{z^2}{2}\geq \frac{3}{2}z^2$
Suy ra :$VT + \frac{1}{2}(xy+yz+xz)+\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)\geq \frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)$
$VT\geq (x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{2}(xy+yz+xz)$
mà $(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(y^2+z^2+x^2)}=(x^2+y^2+z^2)$
suy ra $-\frac{1}{2}(xy+yz+xz)\geq -\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$
Do đó, $VT\geq (x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)=VP$