Từ 2 phương trình ta có một vài điều kiện như sau: $x\geq 2$ và $y\leq 4$ và $0\leq x+y\leq 7$Xét $x=-y$, thay vào phương trình thứ hai ta được: $\sqrt{3x^2}+\sqrt{3x^2}=0 \Leftrightarrow x=0$ (loại do $x\geq 2$)
Xét $x\neq -y$ hay $x+y\neq 0$.
Ta xét: $\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}-\sqrt{4x^2+3xy+2y^2}=\frac{2x^2+3xy+4y^2-4x^2-3xy-2y^2}{\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}+\sqrt{4x^2+3xy+2y^2}}=\frac{2(y^2-x^2)}{3(x+y)}=\frac{2}{3}(y-x)(1)$
Kết hợp (1) và phương trình thứ hai của đề bài, ta được phương trình sau:
$2\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}=3(x+y)+\frac{2}{3}(y-x)=\frac{7}{3}x+\frac{11}{3}y$
$\Leftrightarrow36(2x^2+3xy+4y^2)=(7x+11y)^2$
$\Leftrightarrow 23(x-y)^2=0$
$\Leftrightarrow x=y$
Thay $x=y$ vào phương trình thứ nhất cùa đề bài ,ta được phương trình sau:
$(4-x)\sqrt{x-2}+\sqrt{7-2x}=\sqrt{-x^3+13x^2-57x+85}$
$\Leftrightarrow \sqrt{(4-x)^2(x-2)}+\sqrt{7-2x}=\sqrt{-x^3+13x^2-57x+85}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^3-10x^2+32x-32}+\sqrt{7-2x}=\sqrt{-x^3+13x^2-57x+85}$
Bình phương 2 vế @@(có thể có cách khác nhanh hơn, nhưng mình nghĩ chưa ra nên làm chay)
$2\sqrt{(x^3-10x^2+32x-32)(7-2x)}=-2x^3+23x^2-57x+85$
Bình phương thêm cái nữa@@
$4(7-2x)(x^3-10x^2+32x-32)=(-2x^3+23x^2-57x+85)^2$
Thu gọn xíu ra được
$4x^6-92x^5+885x^4-4550x^3+13165x^2-20292x+12996=0$
$\Leftrightarrow (x-3)^2(3x^4+36x^3+28x^2+22x+44)=0$
Do $3x^4+35x^3+28x^2+22x+44>0$ với $x\geq 2$
nên $x=3 \Rightarrow y=3$
Vậy $S={(3,3)}$