$\color{black}{\log_2 (x^2-\frac{2x+1}{x-2})>\frac{1}{4}\log_{\sqrt{2}}(4x+1)-2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{x-1}}$

Question

Giải bất phương trình:

$\color{green}{\log_2 (x^2-\frac{2x+1}{x-2})>\frac{1}{4}\log_{\sqrt{2}}(4x+1)-2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{x-1}}$

score 5 · Answer 1

Với

$x>1$ , kiểm tra dễ dàng và được bất phương trình đã cho tương đương với

$x^2-\frac{2x+1}{x-2}>(x-1)\sqrt{4x+1}$ ;

hay

$(x-1)(x-\sqrt{4x+1})+x-\frac{2x+1}{x-2}>0$ ;

hay

$(x-1)\frac{x^2-4x-1}{x+\sqrt{4x+1}}+\frac{x^2-4x-1}{x-2}>0$ ;

hay

$(x^2-4x-1)(\frac{x-1}{x+\sqrt{4x+1}}+\frac{1}{x-2})>0$ ;

hay

$(x^2-4x-1)[\frac{(x-1)^2+1+\sqrt{4x+1}}{(x+\sqrt{4x+1})(x-2)}]>0$ ;

hay

$\frac{x^2-4x-1}{x-2}>0$ ;

hay

$2-\sqrt{5}<x<2\vee x>2+\sqrt{5}$ .

Kết hợp điều kiện

$x>1$ thì được

$1<x<2\vee x>2+\sqrt{5}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

$S=(1;2)\cup(2+\sqrt{5};\infty)$ .

1 Đáp án