Dễ thấy rằng $z=\frac{\frac{1}{(1+i)^{101}}-1}{\frac{1}{1+i}-1}=\frac{1-(1+i)^{101}}{-i(1+i)^{100}}=\frac{i-i(1+i)^{101}}{(1+i)^{100}}$.Vì $1+i=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$ nên từ công thức $De-Moivre$ suy ra
$(1+i)^{100}=2^{50}(cos25\pi+isin25\pi)=-2^{50}$,
$(1+i)^{101}=(1+i)^{101}(1+i)=-2^{50}(1+i)$.
Từ đó $z=\frac{i-i[-2^{50}(1+i)]}{-2^{50}}=1-(\frac{2^{50}+1}{2^{50}})i$.
Vậy $z$ có phần thực là $1$ và phần ảo là $-\frac{2^{50}+1}{2^{50}}$.