Tìm cách ngắn gọn nhất!

Question

Cho

$a,b,c$ dương thoả mãn

$a+b+1=c$

Tìm min

$P=(\sum_{cyc}^{}\frac{a^3}{a+bc})+\frac{14}{(c+1)\sqrt{(a+1)(b+1)}}$

có r á, kbiết, tại hôm kia cô t hỏi nhưng cách t làm hơn dài

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 6/3/2016 8:33:02 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

.... ( Như của Nam )( Một hướng khác : Đạo hàm )

$P\geq \frac{(c-1)^{2}}{2(c+1)}+\frac{4c^{3}}{(c+1)^{2}}+\frac{28}{(c+1)^{2}}=f(c)(c>1)$

$\rightarrow f'(c)=\frac{(3c-5)(3c^{2}+14c+23)}{2(c+1)^{3}}$

$f'(c)=0 \Leftrightarrow c=5/3$
Vẽ bbt :

$\rightarrow f(c) \geq f'(\frac{5}{3})=\frac{53}{8}$
Vậy :....

Trả lời 03-06-16 08:33 PM

☼SunShine❤️
46 2

1M 788K

tran85295 · Answer 2 · 6/1/2016 9:28:47 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

$P=\left( \frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca} \right)+\frac{c^3}{c+ab}+\frac{14}{(c+1)\sqrt{(a+1)(b+1})}$

$\ge \frac{(a+b)^3}{2(a+b)(c+1)}+\frac{c^3}{c+\frac{(a+b)^2}{4}}+\frac{14}{(c+1).\frac{a+b+2}{2}}$

$=\frac{(c-1)^2}{2(c+1)}+\frac{4c^3}{4c+(c-1)^2}+\frac{28}{(c+1)^2}$

$=\frac{(c-1)^2}{2(c+1)}+\frac{4c^3}{(c+1)^2}+\frac{28}{(c+1)^2}=\frac{9c^3-c^2-c+57}{2(c+1)^2} \overset{BDTD}{\ge} \frac{53}{8}$

$\Rightarrow \min P=\frac {53}8\Leftrightarrow \begin{cases}a=b=\frac 13 \\ c=\frac 53 \end{cases}$

Trả lời 01-06-16 09:28 PM

tran85295
1

10M 559K

mà sợ dài hơn – ๖ۣۜDevilღ 01-06-16 10:26 PM

anh làm hơi khác Nam xíu nhưng ý tưởng cũng là dồn về C nên khỏi đăng – ๖ۣۜDevilღ 01-06-16 10:26 PM

:v t Cauchy chay thôi :3 – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 01-06-16 10:25 PM

:v biết đc điểm rơi là lầy thôi có biết đạo hàm là gì đâu – tran85295 01-06-16 10:24 PM

mà thôi cũng gần giống, nhác đăng :v – ๖ۣۜDevilღ 01-06-16 10:19 PM

để anh đăng bài anh lên :v – ๖ۣۜDevilღ 01-06-16 10:17 PM

chơi lầy :3 bđtđ – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 01-06-16 09:50 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 3 · 6/1/2016 9:08:49 PM

Giả thiết

$\Leftrightarrow c-a-b=1$

Có

$\sqrt{(a+1)(b+1)}\le \frac{a+b+2}2=\frac{c+1}2$

Đồng bậc ở mẫu các phân thức bằng cách nhân

$(c-a-b)$ vào biến ở bậc 1

$\Rightarrow P\ge\frac{a^3}{(c-a)(a+b)}+\frac{b^3}{(c-b)(a+b)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}+\frac{28}{(c+1)^2}$

Để ý điểm rơi

$a=b=\frac13;c=\frac53$ để cauchy và cân bằng hệ số

có

$\frac{a^3}{(c-a)(a+b)}+\frac{c-a}{32}+\frac{a+b}{16}\ge\frac38a$

$\frac{b^3}{(c-b)(a+b)}+\frac{c-b}{32}+\frac{a+b}{16}\ge\frac38b$

$\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}+\frac{125}{64}(c-a)+\frac{125}{64}(c-b)\ge\frac{75}{16}c$

$\frac{28}{(c+1)^2}+\frac{189(c+1)}{128}+\frac{189(c+1)}{128}\ge\frac{189}{16}$

Cộng, cộng và cộng

$\Rightarrow P\ge\frac{189}{16}-\frac{189}{64}-\frac{143(c-a-b)}{64}=\frac{53}8$

Dấu bằng xảy ra tại

$a=b=\frac13;c=\frac53$

Hỏi	01-06-16 08:18 PM
Lượt xem	2901
Hoạt động	03-06-16 08:33 PM

Tìm cách ngắn gọn nhất!

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tìm cách ngắn gọn nhất!

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan