Giả sử $\omega=a+bi $ với $a,b$ là hai số thực. Khi đó $3\omega-\overline{\omega }=3(a+bi)-(a-bi)=2a+4bi$.Suy ra điều kiện thứ nhất của đề bài tương đương với $|2a+4bi|=8$, hay $2\sqrt{a^2+4b^2}=8$, hay $a^2+4b^2=16$, suy ra $a^2=16-4b^2$ và $|b|\leq2$.
Từ đó có $|\omega|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16-3b^2}\geq 2$, đồng thời khi lấy $(a;b)$ là một trong các kết quả $(0;2),(0;-2)$ thì có $|\omega |=2$. Suy ra $|\omega |$ nhỏ nhất bằng $2$.
Vậy $\omega =2i$ hoặc $\omega =-2i$ là các kết quả phải tìm.