Giả sử ω=a+bi với a,b là hai số thực. Khi đó 3ω−¯ω=3(a+bi)−(a−bi)=2a+4bi.Suy ra điều kiện thứ nhất của đề bài tương đương với |2a+4bi|=8, hay 2√a2+4b2=8, hay a2+4b2=16, suy ra a2=16−4b2 và |b|≤2.
Từ đó có |ω|=√a2+b2=√16−3b2≥2, đồng thời khi lấy (a;b) là một trong các kết quả (0;2),(0;−2) thì có |ω|=2. Suy ra |ω| nhỏ nhất bằng 2.
Vậy
ω=2i hoặc
ω=−2i là các kết quả phải tìm.