Cmr: $\color{red}{\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\le \frac{\sum x^2}{\sum xy}}$

Question

Cmr: $\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\le \frac{\sum x^2}{\sum xy}$

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 6/13/2016 11:36:12 PM

Cách 2 :

Tư tưởng chung là dùng BĐT $C a u c h y - s c h w a r z :$

$(x^{2} + y z + z x) (y^{2} + y z + z x) \geq (x y + y z + z x)^{2} \Leftrightarrow \frac{x y}{x^{2} + y z + z x} \leq \frac{x y^{3} + x y^{2} z + z^{2} y z}{(x y + y z + z x)^{2}}$

Thiết lập các BĐT tương tự, ta có:

$\sum \frac{x y}{x^{2} + y z + z x} \leq \sum \frac{x y^{3} + x y^{2} z + x^{2} y z}{(x y + y z + z x)^{2}} = \frac{(x y + y z + z x) (x^{2} + y^{2} + z^{2})}{(x y + y z + z x)^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x y + y z + z x} (đpcm) .$

Trả lời 13-06-16 11:36 PM

☼SunShine❤️
46 2

1M 788K

☼SunShine❤️ · Answer 2 · 6/13/2016 11:52:58 PM

Bình chọn tăng 12 Bình chọn giảm

Áp dụng AM-GM : $\frac{\sum x^{2}}{\sum xy}\geq 1$
-> Ta CM : $\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz} \leq 1$
$\Leftrightarrow \sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy}+\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq 2$
Áp dụng C-S : $\sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy} \geq \frac{(\sum xy)^{2}}{\sum x^{2}y^{2}+2xyz(x+y+z)}=1$
$\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum (x^{2}+xy+yz)}=1 $
$\rightarrow (đpcm)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$

lịch sử

Sửa 13-06-16 11:52 PM

☼SunShine❤️
46 2

1M 788K

Trả lời 13-06-16 11:30 PM

☼SunShine❤️
46 2

1M 788K