Giả sử $I$ là trung điểm của $MN$. Thế thì $I\in d'$ và $IN$ vuông góc với $d'$.Vì $N\in d$ và $I\in d'$ nên $N(1+t;t;-3t)$ và $I(3+s;2s;-1+2s)$. Suy ra $\overrightarrow{IN}=(t-s-2;t-2s;-3t-2s+1)$ và $M(2s-t+5;4s-t;4s+3t-2)$.
Vì $M\in (P)$ và $IN$ vuông góc với $d'$ nên $t,s$ thỏa mãn hệ
$\begin{cases} 2(2s-t+5)+4s-t-(4s+3t-2)=0\\ 1.(t-s-2)+2.(t-2s)+2.(-3t-2s+1)=0\end{cases}$,
hay $\begin{cases}3t-2s=6 \\ t=-3s \end{cases}$.
Giải hệ này và được $(t;s)=(\frac{18}{11};-\frac{6}{11})$.
Vậy $M(\frac{25}{11};-\frac{42}{11};\frac{8}{11})$ và $N(\frac{29}{11};\frac{18}{11};-\frac{54}{11})$.