Cho các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+xy+2=3(x+y)$. Tìm GTLN của: $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$

Question

Cho các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+xy+2=3(x+y)$. Tìm GTLN của:

$P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 6/15/2016 8:52:11 AM

Cách 2 :Trước hết, chú ý điều kiện, nhận thấy giả thiết là hoàn toàn đối xứng với 2 biến

x, y

. Tiếp theo, để ý đến cái biểu thức P. Rõ ràng, P là hàm bậc nhất chia bậc nhất ..
Từ đó, mình nghĩ đến ý tưởng dùng hình học để giải quyết bài toán. Để thực hiện điều đó, điều quan trọng đầu tiên cần làm, là chuyển giả thiết về dạng quen thuộc, phương trình đường tròn. Còn cái biểu thức P kia thì đơn giản rồi, chỉ cần quy đồng chuyển vế chuyển về phương trình đường thẳng, rồi áp dụng công thức khoảng cách nữa là ok
Tuy nhiên, muốn chuyển P về dạng phương trình đường tròn, trước tiên cần phải loại bỏ ngay cái tích

x y

có trong giả thiết đã. Mà giả thiết là đối xứng cho nên việc này sẽ rất đơn giản thôi

Lời giải:

Đặt:

{\begin{cases} x + y = 2 a \\ x - y = 2 b \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a > 0 \\ x = a + b \\ y = a - b \end{cases}

Khi đó, giả thiết trở thành:

{(a + b)}^{2} + (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2} + 2 = 6 a \Leftrightarrow 3 a^{2} + b^{2} + 2 = 6 a

. Và:

P = \frac{5 a + b + 1}{2 a + 6}

Do:

3 a^{2} + b^{2} + 2 = 6 a \Rightarrow b^{2} = - 3 a^{2} + 6 a - 2 = 1 - 3 {(a - 1)}^{2} \Leftrightarrow | b | = \sqrt{1 - 3 {(a - 1)}^{2}}

Từ đây suy ra:

P = \frac{5 a + b + 1}{2 a + 6} \leq \frac{5 a + | b | + 1}{2 a + 6} = \frac{5 a + 1 + \sqrt{1 - 3 {(a - 1)}^{2}}}{2 a + 6}

Đặt:

a - 1 = t

thì

t \in [\frac{- 1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}]

. Biểu thức P viêt lại dưới dạng:

P = \frac{5 (t + 1) + 1 + \sqrt{1 - 3 t^{2}}}{2 (t + 1) + 6} = \frac{5 t + 6 + \sqrt{1 - 3 t^{2}}}{2 t + 8}

Đến đây thì đơn giản rồi, xét hàm đảm bảo ra ngay. Nhưng mà nhìn cái biểu thức thấy nản quá, đạo hàm ra chắc cũng mệt. Và casio lên tiếng, sau một hồi ngồi bấm máy dò kết quả mình tìm được Max khi