trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau :
Cho α,a1,a2,...,an là các số dương . Chứng minh rằng ;
(α+a1)(α+a2)...(α+an)≥(α+n√a1a2...an)n
đẳng thức xảy ra khi a1=a2=...=an
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
αα+a1+αα+a2+...+αα+an≥αnn√(α+a1)(α+a2)...(α+an)
a1α+a1+a2α+a2+...+anα+an≥nn√a1a2...ann√(α+a1)(α+a2)...(α+an)
Cộng hai vế hai bất đẳng thức trên và quy đồng mẫu số ta được :
n√(α+a1)(α+a2)(α+an)≥(α+n√a1a2...an)n
từ đó ta có điều cần chứng minh . Đẳng thức xảy ra khhi a1=a2=...=an
Áp dụng cho bài tập trên :
Do xyz=1 nên
A=(9x+y)(9y+z)(z−√xz+xxyz=(9+yx)(9+zy)(1−√xz+xz)
Áp dụng bất đẳng thức ở trên ta được : A≥(9+√xz)2(1−√xz+xz)do1−√xz+xz>0
Đặt t=√zx,t>0 thì A≥f(t)=(9+t)2(1−1t+1t2),t>0
f′(t)=2(9+t)(1−1t+1t2)+(9+t)2(1t2−2t3)
=(\frac{9+t}{t^{3}})(2t-3)(t^{2}+t+6)mà f'(t)=0=>t=\frac{3}{2} lập BBT của f(t) trên khoảng (0;+\infty )=>min f(t)=\frac{7^{3}}{4}=>minA=\frac{7^{3}}{4} khi x=\frac{2}{3},y=1,z=\frac{3}{2}