(10)

Question

Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$, chứng minh :

$$\frac{a^2}{(a+1)^2+5b}+\frac{b^2}{(b+1)^2+5a} \overset{(1)}{\ge} \frac 29 \overset{(2)}{\ge} \frac{a^2}{2(a+1)^2+b}+\frac{b^2}{2(b+1)^2+a}$$

tritanngo99 · Answer 1 · 7/3/2016 9:46:34 PM

BDT (2) cày trâu, sáng ngày suy nghĩ tiếp:

$bdt(2)\iff \frac{a^2}{2(a+1)^2+2-a}+\frac{(2-a)^2}{2(3-a)^2+a}\le \frac{2}{9}$.

$\iff \frac{4a^4-16a^3+18a^2-4a+16}{4a^4-16a^3+11a^2+10a+72}\le \frac{2}{9}$

$28a^4-112a^3+140a^2-56a\le 0\iff a(a-2)(a-1)^2\le 0(TRUE)\implies dpcm$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b)=(1;1);(2;0);(0;2)$

Trả lời 03-07-16 09:46 PM

tritanngo99
1

146K 121K

tritanngo99 · Answer 2 · 7/3/2016 9:32:09 PM

Mình xin chém câu này như sau:

BDT đầu tiên nhé.

Ta có: $\frac{a^2}{(a+1)^2+5b}=\frac{a^2}{a^2-3a+11}(do...a+b=2)$.

Ta đi CM: $\frac{a^2}{a^2-3a+11}\ge \frac{19a}{81}-\frac{10}{81}(1)\forall a\in [0;2]$.

Thật vậy: $(1)\iff \frac{(19a-110)(a-1)^2}{81(a^2-3a+11)}\le 0(TRUE)$.

Chứng minh tương tự: Ta có: $\frac{b^2}{(b+1)^2+5a}=\frac{b^2}{b^2-3b+11}\ge \frac{19b}{81}-\frac{10}{81}$.

Cộng hai BDT trên lại vế theo vế ta có dpcm.

BDT (2) đang suy nghĩ...Đăng sau.

Trả lời 03-07-16 09:32 PM

tritanngo99
1

146K 121K

n biến thì ko chắc đúng đc :3 – tran85295 03-07-16 10:07 PM

mở rộng cho n biến luôn cho ngầu. – tritanngo99 03-07-16 10:05 PM

giả sử a >= b | nếu b> 4/11 thì có a=b=1, nếu b =< 4/11 thì có a=2,b=0 – tran85295 03-07-16 10:04 PM

chia sao...:)) – tritanngo99 03-07-16 10:02 PM

chia trường hợp giải quyết – tran85295 03-07-16 09:59 PM

bdt (2) neu lam nhu bdt (1) nó tương dương:(11x-4)(x-1)^2>=0. Sao giải quyết mn – tritanngo99 03-07-16 09:59 PM

=)) bđtđ cx là 1 cách :v – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 03-07-16 09:59 PM

:)) ệch thế k bảo t lầy luôn – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 03-07-16 09:50 PM

lầy dc chứ :)) bdt 2 biến thì thoải mái :)) – tran85295 03-07-16 09:48 PM

1 lầy nó ra $2(x-1)^2(8x^2-16x 99)>=0$ – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 03-07-16 09:48 PM

bdt 2, minh lầy nè. – tritanngo99 03-07-16 09:46 PM

=)) ra 100% luôn – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 03-07-16 09:46 PM

được lầy k, thay a=2-b rồi biến đổi tương đương – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 03-07-16 09:46 PM

ok chuẩn rồi :)) câu b làm tương tự thôi – tran85295 03-07-16 09:38 PM

2 Đáp án