BĐT

Question

Cho $a, b, c > 0$ và $a + b + c = 3$

Chứng minh rằng : $8 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + 9 \geq 10 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

score 4 · Answer 1

Giải như sau:

Giả sử $a$ là số lớn nhất trong 3 số $a,b,c$ ,thế thì $a$ nhỏ hơn 3 và không nhỏ hơn 1

ta thấy $9 = (42 a - 48) + (42 b - \frac{69}{2}) + (42 c - \frac{69}{2})$

Thay và BĐT ban đầu ta thấy tương đương

$(\frac{8}{b} - 10 b^{2} + 42 b - \frac{69}{2}) + (\frac{8}{c} - 10 c^{2} + 42 c - \frac{69}{2}) \geq 10 a^{2} - \frac{8}{a} - 42 a + 48 \Leftrightarrow \frac{(16 - 5 b) (2 b - 1)^{2}}{b} + \frac{(16 - 52) (2 c - 1)^{2}}{c} \geq \frac{4 (5 a - 1) (a - 2)^{2}}{a}$

Áp dụng BCS ,ta có:

$VT$ $\geq \frac{(2 b - 1 + 2 c - 1)^{2}}{\frac{b}{16 - 5 b} + \frac{c}{16 - 5 c}} = \frac{4 (a - 2)^{2}}{\frac{b}{16 - 5 b} + \frac{c}{16 - 5 c}}$

Lúc này ta chỉ cần chứng minh

$\frac{a}{5 a - 1} \geq \frac{b}{16 - 5 b} + \frac{c}{16 - 5 c}$

Mà $\frac{b}{16 - 5 b} + \frac{c}{16 - 5 c} \leq \frac{b}{16 - 5 a} + \frac{c}{16 - 5 a} = \frac{3 - a}{16 - 5 a} \leq \frac{a}{5 a - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{(5 a - 1) (16 - 5 a)} > 0$

ĐÚng theo giả thiết,từ đây ta suy ra đ.p.c.m

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1/2 ,c=2$ cùng hoán vị

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Cách 2:

Ta có BĐT tương đương

$f(abc,a+b+c,ab+bc+ca)$ = $8. \frac{a b + b c + c a}{a b c} + 9 - 10 ((a + b + c)^{2} - 2 (a b + b c + c a)) \geq 0$

Nhận thấy đây là hàm đơn điệu trên $R$ theo $abc$ nên theo định lý $ABC$, hàm số đạt cực tiểu khi có 2 biến = nhau, nên $a=b=$ $\frac{3 - c}{2}$

Thay vào và chứng minh BĐT 1 biến $c$ ,bài toán trở nên quá đơn giản

score 4 · Answer 3

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Ta có:

BĐT tương đương

$\frac{5}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) - 10 (a^{2} + b^{2}) + \frac{27}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + \frac{8}{c} + 9 - 10 c^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 5 \frac{(a + b) - 8 a b (a^{2} + b^{2})}{4 a b} + \frac{27}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + \frac{8}{c} + 9 - 10 c^{2} \geq 0$

Lại có : $4 a b \leq (a + b)^{2}$ , $8 a b (a^{2} + b^{2}) \leq (a + b)^{4}$ , $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$

Nên VT $\geq A = 5. \frac{1 - (a + b)^{3}}{a + b} + \frac{27}{a + b} + \frac{8}{c} + 9 - 10 c^{2}$

Thay a+b=3-c,ta thấy $\geq 0 \Leftrightarrow (2 - c) \frac{(35 c^{2} + 12 - 6 c - 15 c^{3})}{c (3 - c)} \geq 0$

DO vai trò của a,b,c như nhau,không mất tính tổng quát,giả sử c không lớn hơn 2, nên 2-c không âm

Còn phương trình $35 c^{2} + 12 - 6 c - 15 c^{3}$ ,ta nhận thấy,theo như điều giả sử thì $15 c^{3} \leq 30 c^{2}$ và $6 c \leq 12$ nên hiển nhiên biểu thức đó lớn hơn 0,từ đây hoàn tất cm ban đầu