bđt (8)

Question

cho

$a,b,c\geq 0$ CMR

$\sqrt{a^4+a^2b^2+b^4}+\sqrt{b^4+b^2c^2+c^4}+\sqrt{c^4+b^2ca^2+a^4}\geq a\sqrt{2a^2+bc}+b\sqrt{2b^2+ca}+c\sqrt{2c^2+ab}$

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 1 · 7/16/2016 3:49:13 PM

Ta có:

$a^4+a^2b^2+b^4=\frac{3}{4}(a^2+b^2)^2+\frac{1}{4}(a^2-b^2)^2 \geq \frac{3}{4}(a^2+b^2)^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2)$

Chứng minh tương tự cho 2 căn thức còn lại.

Cộng lại ta có

$VT\geq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)$

$(1)$

Bây giờ xét vế phải. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

$(ax+by+cz)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$

Áp dụng ta có :

$VP^2\leq (a^2+b^2+c^2)(2a^2+2b^2+2c^2+ab+ac+bc)\leq 3(a^2+b^2+c^2)^2$

$\Rightarrow VP\leq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)$

$(2)$

Từ

$(1)$ và

$(2)$ ta có đpcm. Dấu bằng khi a=b=c

Trả lời 16-07-16 03:49 PM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
1

698K 307K

tích V và vote giúp mỏi hết cả tay – ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ 16-07-16 03:49 PM

score 4 · Answer 2

$VT\geq\sum\frac{\sqrt3}{2}(a^2+b^2)$

$=\sqrt3 a^2=\sqrt{(\sum a^2)(3\sum a^2)} \geq\sqrt{(\sum a^2)(2\sum a^2+\sum ab)}\geq VP$ (Bunhia)

Các bổ đề sử dụng:

$a^2+ab+b^2\geq\frac{3}{4}(a^2+b^2) and \sum a^2\geq \sum ab$ (biến đổi tương đương để chứng minh nhé bạn)

2 Đáp án