Đây nữa m.n ơi!!!

Question

Cho

$p$ là số nguyên tố có dạng

$4k+3$ và

$p$ là ước của

$x^2+y^2$

$(x,y\in Z)$ . CMR:

$p$ là ước của

$x$ và

$y$ .

score 6 · Answer 1

Chiều đảo hiển nhiên . Ta chứng minh chiều thuận bằng phản chứng . Giả sử

$a,b\in Z$ sao cho

$a^2+b^2$ chia hết

$p$ nhưng chẳng hạn

$a$ không chia hết cho

$p$ . Khi đó

$b$ cũng không chia hết cho

$p$ .Theo định lý nhỏ FERMAT thì

$a^{p-1}\div p$ dư 1,

$b$ tương tự

$\Rightarrow a^{p-1}+b^{p-1}\div p$ dư 2

$\Rightarrow (a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1}\div p$ dư 2
Mặt khác

$(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1} =(a^2+b^2)A$ chia hết cho

$p\Rightarrow 2$ chia hết cho

$p$ vô lý vì

$p\geq 3$
Vậy điều giả sử sai

1 Đáp án