Đặt VT=f(k)
Ta có f(k)=∑a2(a−b)2+k∑ab(a−b)2 với k∈[0;1]
Đây là hàm bậc nhất theo k nên ta luôn có f(k)≥min
\bullet f(0)= \frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}
Với c=0 thì f(0)>1
Với c\ne 0,Đặt \begin{cases}a=xc \\ b=yc \end{cases} (xy \ne0 ,x \ne y,x\ne 1,y \ne 1)
Khi đó f(0)=\frac{x^2}{(x-y)^2}+\frac{y^2}{(1-y)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}
=1+\left( \frac{-yx^2+3xy-x-y^2}{(x-y)(1-y)(x-1)}\right)^2 \ge 1
Vậy f(0) \ge1 đẳng thức xảy ra chẳng hạn a=1,b=4,c=-2
\bullet f(1)=\sum \frac{a^2+ab}{(a-b)^2}
=\frac{x^2+xy}{(x-y)^2}+\frac{y^2+y}{(y-1)^2}+\frac{x+1}{(x-1)^2}
=\frac 78+\frac 18\left(\frac{3x^2y+x^2+xy^2-12xy+3x+3y^2+y}{(x-y)(y-1)(x-1)} \right)^2 \ge \frac 78
Vậy f(1) \ge \frac 78
Từ đó suy ra f(k) \ge \frac 78 (dpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn a=1,b=-3,c=0 và k=1