Min....

Question

Cho các số NGUYÊN DƯƠNG

$x,y,z$ thỏa mãn

$x+y=z-1$ . Tìm GTNN:

$A=\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+xz}+\frac{z^3}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 1 · 7/31/2016 10:27:42 AM

Do

$x,y,z$ nguyên dương nên ta có:

$x\geq 1$ ;

$y\geq 1$

$\Leftrightarrow z=x+y+1\geq 3$

$\Rightarrow z\geq 3$

Thay

$1=z-x-y$ vào mẫu thức ta có :

$A=\frac{x^3}{(z-x)(x+y)}+\frac{y^3}{(z-y)(x+y)}+\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$

Áp dụng Cô-si ta có:

$\frac{x^3}{(z-x)(x+y)}+\frac{z-x}{8}+\frac{x+y}{8}\geq \frac{3x}{4}$

$\frac{y^3}{(z-y)(x+y)}+\frac{z-y}{8}+\frac{x+y}{8}\geq \frac{3y}{4}$

$\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}+\frac{8(z-x)}{27}+\frac{8(z-y)}{27}\geq \frac{27z}{4}$

$\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \frac{28}{(z+1)^2}$ (Áp dụng Cô-si 2 số và giả thiết

$x+y=z-1$ )

Cộng lại theo vế và rút gọn ta có:

$VT\geq \frac{15z-16}{4}+\frac{28}{(z+1)^2}=\frac{23(z+1)}{8}+(\frac{7(z+1)}{16}+\frac{7(z+1)}{16}+\frac{28}{(z+1)^2})-\frac{31}{4}$

Lại áp dụng Cô-si 3 số ta có:

$VT\geq \frac{23(z+1)}{8}+3.\frac{7}{4}-\frac{31}{4}$

Mà

$z\geq 3$ nên

$VT\geq \frac{23(3+1)}{8}+\frac{21}{4}-\frac{31}{4}=9$

Vậy A đặt giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=y=1 và z=3

1 Đáp án