ta có : $(a-b)+(b-c)+(c-a)\geq 3\sqrt[3]{(a-b)(b-c)(c-a)}$$\Leftrightarrow 0\geq (a-b)(b-c)(c-a)$(1)
Ta lại có :$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow 2\geq 3\sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow \frac{8}{27}\geq abc$(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{2}abc-(a-b)(b-c)(c-a)\leq \frac{4\sqrt{3}}{9}$ (đpcm)