Từ công thức hạ bậc tăng cung và định lí cô-sin suy ra$cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$;
$sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{ac}}$;
$sin\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}$.
Từ đó suy ra
$\frac{asin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}{cos\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=\frac{S}{p}=r$.