Từ công thức hạ bậc tăng cung và định lí cô-sin suy racosA2=√p(p−a)bc;sinB2=√(p−a)(p−c)ac;sinC2=√(p−a)(p−b)ab.Từ đó suy raasinB2sinC2cosA2=√(p−a)(p−b)(p−c)p=√p(p−a)(p−b)(p−c)p=r.
Từ công thức hạ bậc tăng cung và định lí cô-sin suy ra
cosA2=√p(p−a)bc;
sinB2=√(p−a)(p−c)ac;
sinC2=√(p−a)(p−b)ab.Từ đó suy ra$\frac{asin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}}{cos\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=
\frac{S}{p}=r$.