Từ điều kiện đề bài suy ra $M(m;0)$ và $N(0;n)$ với $m.n\neq0$. Khi đó đường thẳng $d$ có phương
trình $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$, hay $nx+my-mn=0$. Vì điểm $A\in d$ nên $3m-n-mn=0$.
Do đó cần tìm $m,n$ thỏa mãn $3m-n-mn=0$ để $\frac{2}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}=\frac{2}{m^2}+\frac{1}{n^2}$ nhỏ nhất.
Từ điều kiện đã lập suy ra $n\neq3$ và $m=-\frac{n}{n-3}$. Khi đó ta có
$\frac{2}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{2(n-3)^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}=19(\frac{1}{n})^{2}-12.\frac{1}{n}+2$.
Dễ thấy rằng biểu thức $19(\frac{1}{n})^{2}-12.\frac{1}{n}+2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{2}{19}$ khi $n=\frac{19}{6}$, và giá trị
tương ứng $m=-19$.
Vậy $d:x-6y+19=0$ là đường thẳng cần tìm.