Ko lm đc !!!!! Haiz

Question

Viết pt đường thẳng

$d$ qua

$A(-1;3)$ , cắt trục

$Ox, Oy$ lần lượt tại

$M, N$ sao cho

$\frac{2}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}$ đạt GTNN

score 3 · Answer 1

Từ điều kiện đề bài suy ra

$M(m;0)$ và

$N(0;n)$ với

$m.n\neq0$ . Khi đó đường thẳng

$d$ có phương

trình

$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$ , hay

$nx+my-mn=0$ . Vì điểm

$A\in d$ nên

$3m-n-mn=0$ .

Do đó cần tìm

$m,n$ thỏa mãn

$3m-n-mn=0$ để

$\frac{2}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}=\frac{2}{m^2}+\frac{1}{n^2}$ nhỏ nhất.

Từ điều kiện đã lập suy ra

$n\neq3$ và

$m=-\frac{n}{n-3}$ . Khi đó ta có

$\frac{2}{m^2}+\frac{1}{n^2}=\frac{2(n-3)^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}=19(\frac{1}{n})^{2}-12.\frac{1}{n}+2$ .

Dễ thấy rằng biểu thức

$19(\frac{1}{n})^{2}-12.\frac{1}{n}+2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng

$\frac{2}{19}$ khi

$n=\frac{19}{6}$ , và giá trị

tương ứng

$m=-19$ .

Vậy

$d:x-6y+19=0$ là đường thẳng cần tìm.

1 Đáp án