Để phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì phải có $\Delta > 0$$\Leftrightarrow (2m+1)^2 > 4(m^2-1)\Leftrightarrow m> -\frac 54$
Khi đó theo định lí Vi-et thì $\begin{cases}x_1+x_2=2m+1 \\ x_1x_2=m^2-1 \end{cases}$
Ta có
$ \left[x_1(x_1-2m)+m^2\right](x_2+1)=1$
$\Leftrightarrow \left[x_1(1-x_2)+m^2\right](x_2+1)=1$
$\Leftrightarrow \left[x_1+(m^2-x_1x_2)\right](x_2+1)=1$
$\Leftrightarrow (x_1+1)(x_2+1)=1$
$\Leftrightarrow x_1+x_2+x_1x_2=0$
$\Leftrightarrow 2m+1+m^2-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=-2\\ m=0 \end{array} \right.$
Vậy $m=0$ là giá trị duy nhất cần tìm.