C/m: $cos^2\alpha +cos^2\beta $ là 1 hằng số.

Question

Trong mp(P) cho đường tròn (O) đk AB.

Trên đường thẳng (d) vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA=AB.

C đối xứng với B qua A. Đường thẳng $(\Delta )$ di động qua C và cắt (O) tại 2 điểm M, N.

Gọi $\alpha $ và $\beta $ lần lượt là số đo của góc giữa 2 mp (SBM) và (SBN) với (P).

C/m: $cos^2\alpha +cos^2\beta $ là 1 hằng số.

score 2 · Answer 1

Dễ thấy: góc giữa $(S B M)$ và $(P)$ là $∠ S M A$ ; góc giữa $(S B N)$ và $(P)$ là $∠ S N A$

Ta có: $\cos^{2} a + \cos^{2} b = \frac{1}{\frac{S A^{2}}{A M^{2}} + 1} + \frac{1}{\frac{S A^{2}}{S N^{2}} + 1}$

Đặt $A N = x; A B = d \to B N^{2} = d^{2} - x^{2}$

Dễ dàng lập được các đẳng thức sau: $\frac{A N}{C M} = \frac{C N}{C B}; \frac{A M}{B N} = \frac{C A}{C M}$

$\to \frac{A N}{C M} = \frac{C A . B N}{A M . C B} = \frac{B N}{2 A M}$

$\to 2 A M . A N = B N . B M$

$\to 4 A M^{2} . A N^{2} = B N^{2} . B M^{2}$

$\to 4. A M^{2} . x^{2} = (d^{2} - x^{2}) . (d^{2} - A M^{2})$

$\to A M^{2} = \frac{d^{2} (d^{2} - x^{2})}{3 x^{2} + d^{2}}$

Thay vào ta có:

$\cos^{2} a + \cos^{2} b = \frac{1}{\frac{3 x^{2} + d^{2}}{d^{2} - x^{2}} + 1} + \frac{1}{\frac{d^{2}}{x^{2}} + 1} = . . . = \frac{1}{2}$

Vậy $\cos^{2} a + \cos^{2} b = \frac{1}{2}$ (const)

1 Đáp án