Bài này có rất nhiều nghiệm
vd: $(0;0),(1;1),(-2133,-240);(112;418);(-4;-64)\ldots$
Thực tế là vô số nghiệm, đặt $\dfrac{a^2+b^2}{1+ab}=k (k \in \mathbb Z)$
Một bài toán nổi tiếng ở kì thi $\rm IMO \;1998$ nói rằng nếu $k$ là số nguyên thì $k$ sẽ là số chính phương.
Và với mỗi số $k>1$ thì sẽ có vô số nghiệm nguyên với công thức chung rất phức tạp. Chẳng hạn với $k=4$ thì các nghiệm đều có chung công thức:
$$\begin{cases}a=\dfrac 13\left[2\sqrt 3\left(2+\sqrt 3\right)^n-2\sqrt 3\left(2-\sqrt 3\right)^n-3(2-\sqrt3)^n-3(2+\sqrt 3)^n\right] \\ \\b=\dfrac{(2+\sqrt 3)^n-(2-\sqrt 3)^n}{\sqrt 3}\end{cases}$$
(Với $n$ nguyên không âm)
Với các số khác của $k$ cũng đều thu đc công thức nghiệm tương tự, mà hầu như các nghiệm ko có mối liên hệ nào với nhau nên cá nhân mình nghĩ là việc tìm tất cả bộ số hoặc là không thể làm được, hoặc là sẽ rất khó và rất phức tạp.