Giả sử pt của $T_2$ là $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2_2$ với tâm $I_2(x_0,y_0)$. Ta có:
$\bullet\; T_2$ tiếp xúc $d\Rightarrow R_2=\mathrm d\left ( I_2,d \right )=\frac{\left| {x_0-y_0-3} \right|}{\sqrt 2}=\frac{x_0-y_0-3}{\sqrt 2}\quad (1)$
$\bullet \;T_2$ tiếp xúc $T_1$
$\Rightarrow I_2I_1=R_2+R_1\\\Leftrightarrow \sqrt{(x_0-1)^2+y_0^2}=R_2+\sqrt 2 \quad (2)$
$\bullet \;T_2$ cắt đt $y+2=0$ tại $A$, khi đó gọi $H$ là hình chiếu của $I_2$ lên đt $y+2=0$. Áp dụng định lí pitago, ta có: $I_2A^2=I_2H^2+HA^2\Leftrightarrow R_2^2=(y_0+2)^2+2 \quad(3)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $\sqrt{(x_0-1)^2+y_0^2}=\frac{x_0-y_0-3}{\sqrt 2}+\sqrt 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{2\left[ {(x_0-1)^2+y_0^2} \right]}=(x_0-1)-y_0$
Bp 2 vế với đk $x_0-1-y_0 \ge 0\quad (*)$ và thu gọn, ta được $x_0=-y_0+1$, thay ngược vào $(1)$, ta suy ra
$R_2=-\sqrt 2\left(y_0+1\right)$
Tiếp tục thay vào $(3)$ và giải pt 1 ẩn, ta được $y_0=2,y_0=-2$
$y_0=2$ ko thỏa đk $(*)$, với $y_0=-2$. Ta được pt đt của $T_2$:
$\boxed{(x-3)^2+(y+2)^2=2}$