Với $0<a<1$ ta luôn có $\sqrt a>a$, tức $\frac{1}{\sqrt a}<\frac{1}{a} $. Từ đây ta có $\frac{1}{\sqrt{k.(1998-k+1)}} <\frac{1}{k(1998-k+1}$ với mọi $k=1,...1998$Từ đây ta có
$S=\sum_{k=1}^{1998}\frac{1}{\sqrt{k.(1998-k+1)}}<\sum_{k=1}^{1998}\frac{1}{k.(1998-k+1}=\sum_{k=1}^{1998}\frac{1}{1999} \left[\frac{1}{k}+\frac{1}{1998-k+1} \right]$
$=\frac{1}{1999}\sum_{k=1}^{1998}\left[\frac{1}{k}+\frac{1}{1998-k+1} \right]=\frac{2}{1999}\sum_{k=1}^{1998}\frac{1}{k}<\frac{2}{1999}\sum_{k=1}^{1998} 1=\frac{2}{1999}.1998=2\frac{1998}{1999}$
Vậy $S<2\frac{1998}{1999}$.