hình hok 9

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A , tia phân giác của $ \widehat{BAC}$ cắt BC tại D . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB ; AC . Đặt AC = a ; AB = c ; BC = a ; AD = d

a) Chứng minh $ \frac{\sqrt{2}}{d} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

b) Chứng minh $ \frac{1}{\sin \frac{A}{2}} + \frac{1}{\sin \frac{B}{2}} + \frac{1}{\sin \frac{C}{2}} > 6$

score 1 · Answer 1

a) Đặt $x=CD$, như vậy $BD=a-x$. Theo tính chất đường phân giác ta có tỷ lệ $\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{b}=\frac{a-x}{c}$. Từ Đây suy ra $CD=\frac{ab}{B+c}, BD=\frac{ac}{B+c}$.

Vì tam giác ABC vuông tại A, DE vuông với AB nên $DE// AC$, ta có tỷ lệ $\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}\Leftrightarrow DE=AC.\frac{ BD}{BC}=b.\frac{ac}{a(b+c)}=\frac{bc}{b+c}$.

Trong tam giác vuông ADE vuông tại E và AD là phân giác góc A nên $\widehat{DAE}=45^0$. Suy ra $\sin \widehat{DAE} =\frac{DE}{AD}\Leftrightarrow \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{bc}{d(b+c)}\Leftrightarrow \frac{\sqrt 2}{d}=\frac{b+c}{bc}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.