Đường thằng $y=2x+m$ luôn cắt hai trục tại 2 điểm: trục tung tại $A(0;m)$, trục hoành tại $B(\frac{-m}{2};0)$. Diện tích S của hình tạo bởi đường thẳng $y=2x+m$ và hai trục tọa độ chính là diện tích tam giác vuông OAB, vuông tại O, tức là $S=\frac{1}{2}OA.OB$.Lại có $OA=|m|,OB=|\frac{m}{2}|$ suy ra $1=\frac{1}{2}.|m|.|\frac{m}{2}|=\frac{1}{2}.\frac{m^2}{2}\Leftrightarrow m^2=4\Leftrightarrow m=\pm 2$.
Vậy có hai đường thẳng ứng với 2 giá trị m thỏa mãn bài toán là $y=2x+2$ và $y=2x-2$.