Từ bất đẳng thức schwarz cùng với bất đẳng thức AM - GM, suy ra
$\frac{(a^2+ab)^2}{a+b}+\frac{(b^2+bc)^2}{b+c}+\frac{(c^2+ca)^2}{c+a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{2(a+b+c)}$
$\geq \frac{[\frac{2(a+b+c)^2}{3}]^2}{2(a+b+c)}$.
$\geq \frac{2(a+b+c)^3}{9}$.
Suy ra
$a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)\geq \frac{2(a+b+c)^3}{9}$ (1).
Từ giả thiết của đề bài, suy ra
$2+2(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8(a+b+c)^3}{27}$,
hay
$8(a+b+c)^3-54(a+b+c)-54\geq0$,
suy ra $a+b+c\geq3$.
Từ kết quả trên, suy ra $\frac{2(a+b+c)^2}{3}\geq 2(ab+bc+ca)$ và $\frac{a+b+c}{3}\geq1$. Suy ra
$\frac{2(a+b+c)^3}{9}\geq2(ab+bc+ca)$ (2).
Kết hợp (1) và (2) thì được
$a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)\geq 2(ab+bc+ca)$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.