Ta có: $2 \sin(4x-\frac{\pi}{3})-1=0$
$\Leftrightarrow \sin (4x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sin (4x-\frac{\pi}{3})= \sin \frac{\pi}{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \mathbb {k.2\pi}\\ 4x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \mathbb {k.2\pi} \end{array} \right.$ $(\mathbb {k} \in \mathbb {Z})$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{8} + \mathbb {k}.\frac{\pi}{2}\\ x = \frac{7\pi}{24} + \mathbb {k}.\frac{\pi}{2} \end{array} \right.$ $(\mathbb {k} \in \mathbb {Z})$
$\bigstar$ Với $x = \frac{\pi}{8} + \mathbb {k}.\frac{\pi}{2},x > 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} + \mathbb {k}.\frac{\pi}{2} > 0 \Leftrightarrow k > -\frac{1}{4}$, $x$ là nghiệm dương nhỏ nhất khi và chỉ khi $k = 0\Rightarrow x = \frac{\pi}{8}$ $(1)$
$\bigstar$ Với $x = \frac{7\pi}{24} + \mathbb {k}.\frac{\pi}{2},x > 0 \Leftrightarrow x = \frac{7\pi}{24} + \mathbb {k}.\frac{\pi}{2} > 0 \Leftrightarrow k > -\frac{7}{12}$, $x$ là nghiệm dương nhỏ nhất khi và chỉ khi $k = 0\Rightarrow x = \frac{7\pi}{24}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $\color {green} {\boxed {x = \frac{\pi}{8}}}$